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Loxodromía y ortodromía, dos trayectorias posibles

 
 

Para explicar la diferencia entre loxodromía y ortodromía, echamos mano de hemeroteca. A finales del año pasado, aparecía una noticia curiosa en la prensa internacional. Un vuelo de Los Ángeles a Tokio tuvo que dar la vuelta tras cuatro horas de viaje porque un pasajero despistado se había equivocado de avión.

Más allá del estupor general, llamaba la atención un dato. En el momento en que al pasajero se le ocurrió mirar su billete, el avión se encontraba cerca de las islas aleutianas, en Alaska. Es decir, a más de 15º al norte de Los Ángeles y Tokyo, diferencia equivalente a la que hay entre Madrid y Escocia.

En otra ocasión, en un vuelo Madrid-Shanghai tuvimos que hacer una parada técnica en Moscú, que también está mucho más al norte que el origen y el destino. En la siguiente imagen se muestra la trayectoria real de ambos vuelos (rojo), en comparación con la que parecería óptima (amarillo).

Trayectorias reales (rojo) e hipotéticas (amarillo) para algunos viajes, en proyección de Mercator

¿Por qué se sigue esas trayectorias aparentemente curvas, en lugar de ir en línea recta? ¿Tiene algo que ver con las corrientes de aire, al igual que los barcos siguen corrientes marinas? ¿O quizá por la rotación de la Tierra?

Loxodromía y ortodromía

La respuesta nos la da la geometría esférica, que es la que rige en nuestro planeta en lugar de la geometría plana. En primer lugar, el mero hecho de llamar “línea recta” a una trayectoria de este a oeste es ya un error en sí mismo. Todos los desplazamientos por la superficie terrestre son curvos. Nos confunden las proyecciones cartográficas, como siempre.

Existen dos tipos de navegación, o sea, de moverse por el globo: loxodrómica y ortodrómica.

Navegación loxodrómica (amarillo) y ortodrómica (rojo)

Loxodromía

Se realiza una navegación loxodrómica cuando se va desde un punto a otro del globo con un rumbo constante, es decir, con una dirección de brújula fija. De esta forma, se va cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo. Este tipo de navegación es muy sencilla para barcos y aviones, porque no deben ir modificando el rumbo sobre la marcha.

Como se puede apreciar en la imagen anterior, una navegación loxodrómica describe una hélice esférica que se aproxima a uno de los polos sin llegar nunca. Seguirá girando cada vez con un radio menor hasta el infinito.

 

Otra ventaja es que una trayectoria loxodrómica se transforma en una línea recta cuando se representa en proyección de Mercator. Las cartas náuticas solían estar representadas en esa proyección.

En la siguiente imagen se representa la hélice loxodrómica que resultaría de un viaje desde Ciudad de México hasta Londres, continuando hasta el Polo Norte. Como la proyección de Mercator es infinita hacia arriba y hacia abajo, esta trayectoria recta nunca llegará al Polo.

Trayectoria loxodrómica infinita sobre una proyección de Mercator

A pesar de su simplicidad, este tipo de navegación no es la óptima. La distancia más corta entre dos puntos no se obtiene de esta forma.

Ortodromía

A la navegación que resulta de ir de un punto a otro por el camino más corto se le llama ortodrómica. En una esfera, el punto más corto entre dos puntos de su superficie se encuentra contenido en una circunferencia máxima. Esto es equivalente a tomar el punto origen (P) y destino (H), y hacer un corte pasando por el centro de la esfera:

La trayectoria ortodrómica (verde) está contenida en un círculo que pasa por el centro

Este tipo de navegación es más complejo, puesto que el rumbo va cambiando sobre la marcha. Esto se puede apreciar en el primer mapa del artículo. La trayectoria ortodrómica en proyección de Mercator es una línea curva.

Curvas ortodrómicas. Fuente

En la imagen superior se pueden apreciar las curvas ortodrómicas entre puntos de igual latitud distantes 1000 km. Las trayectorias mínimas son circunferencias en el plano de Mercator, con curvaturas opuestas en ambos hemisferios.

Sin embargo, en proyección gnomónica se intercambian los papeles. La ortodrómica es una recta y la loxodrómica una curva:

Trayectoria loxodrómica y ortodrómica para los dos viajes, en proyección gnomónica cenital

Trayectorias de vuelos reales

Entre loxodromía y ortodromía, ¿qué eligen los aviones? En general, los vuelos reales van por la distancia más corta (trayectoria ortodrómica). Existe una aplicación que calcula las trayectorias reales de vuelos. Algunas son aparentemente endiabladas cuando las vemos en proyección cilíndrica:

Vuelo Sidney-Buenos Aires en proyección cilíndrica

Sin embargo, en proyección ortográfica entendemos que es la distancia más corta:

Vuelo Sidney-Buenos Aires en proyección ortográfica

Aún más extravagante parece el vuelo a las antípodas entre dos hemisferios:

Vuelo Buenos Aires-Pekín en proyección cilíndrica

Vuelo Buenos Aires-Pekín en proyección ortográfica
 

Ahorro de kilómetros

¿Realmente merece la pena ir por la distancia más corta? En un estudio de 2011se calculó que la mayor diferencia de kilómetros se daba cuando el origen y el destino estaban en el paralelo 40º y en meridianos opuestos. Como Denver y Tokio, por ejemplo, siendo el ahorro de un 38%.

Sin embargo, en términos relativos el ahorro aumenta con la latitud. Cerca del Polo Norte puede llegar hasta a un 57%, aunque en viajes muy cortos.

Diferencia entre distancias ortodrómicas y loxodrómicas con origen en distintos puntos (Korner-Nievergelt and Robinson, 2014)

¿Y los pájaros, cómo vuelan?

Curiosamente, los pájaros que hacen migraciones largas vuelan con trayectoria loxodrómica, según este estudio. Al parecer, prefieren recorrer una distancia algo mayor pero no cambiar de rumbo. Su sistema de orientación descansa más de esta manera. Sin embargo, las aves polares lo hacen de manera ortodrómica. En este caso, el ahorro de distancia es tan grande que se hace conveniente.

Inteligentes estos pájaros, combinando loxodromía y ortodromía a voluntad… Por su parte, los aviones eligen ortodromía. Menos distancia, menos tiempo, menos combustible, menos coste. Los aviones, esos pájaros modernos…

Investigador en ingeniería estructural en la Universidad de Granada, músico y compositor aficionado, apasionado de las matemáticas y loco por los mapas.

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